来自 文学天地 2019-10-23 01:18 的文章
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这个学院甚至把长跑路径设在青阳县的千山万壑

一个月的时间很快就过去了,越野长跑比赛终于大驾光临。:-(该死的!学校居然把长跑路线设在郊区的高山上,起点是山底,终点是山顶。T—T^呜哇,山路坑坑洼洼,怪石嶙峋,荆棘丛生,还要要求速度,这样会跑死人的好不好?果然,我还没跑到一半就被石头绊住摔了个大跟头,左脚立刻肿得像个大馒头一样,站起来都很困难,这还不说,可恶的荆棘划破了我娇嫩美丽的手和睑啊,T—T^呜呜呜……T⌒T^怎么办?本来我是远远领先在所有人前面的,可是现在有人超过我了!一个、两个、三个……脚好痛,尽管我咬牙站起来开始一瘸一拐地跑,可是完全使不上劲,我的跑简直就跟走没什么区别嘛。今天真是倒霉,怎么这样的倒霉事就偏偏被我给撞上了呢?唉!后面好像已经没有同学了耶,怎么办?告诉老师原因然后放弃吗?>_一oo_一_ooo:-一一一一一

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【Luogu3768】简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛)

2017/06/25

题面

洛谷
[求sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nijgcd(i,j)]
$ n<=10^9$

 

题解

很明显的把(gcd)提出来
[sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^nsum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]]
习惯性的提出来
[sum_{d=1}^nd^3sum_{i=1}^{n/d}sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]]
后面这玩意很明显的来一发莫比乌斯反演
[sum_{d=1}^nd^3sum_{i=1}^{n/d}mu(i)i^2(1+2+...[frac{n}{id}])^2]
写起来好麻烦呀
我就设(sum(x)=1+2+3+...x)
令(T=id)
提出来!

[sum_{T=1}^nsum(frac{n}{T})^2sum_{d|T}d^3frac{T}{d}^2mu(frac{T}{d})]

有些(d)可以约掉
[sum_{T=1}^nsum(frac{n}{T})^2T^2sum_{d|T}dmu(frac{T}{d})]

现在如果把后面给筛出来
可以(O(sqrt n))求啦
现在,问题来了
[T^2sum_{d|T}dmu(frac{T}{d})]怎么算??

考虑一个式子:
[(id*mu)(i)=varphi(i)]
也就是说,(mu)和(id(x)=x)的狄利克雷卷积等于(varphi(i))
太神奇啦!!!

所以说,
[T^2sum_{d|T}dmu(frac{T}{d})=T^2varphi(T)]

令[f(i)=i^2varphi(i)]
[S(n)=sum_{i=1}^nf(i)]

杜教筛套路的式子拿出来
[g(1)S(n)=sum_{i=1}^n(g*f)(i)-sum_{i=2}^ng(i)S(frac{n}{i})]
还是发现有(varphi(i))的项
想到[sum_{d|i}varphi(d)=i]
所以令(g(x)=x^2)
所以
[S(n)=sum_{i=1}^n(g*f)(i)-sum_{i=2}^ng(i)S(frac{n}{i})]

[(g*f)(i)=sum_{d|i}f(d)g(frac{i}{d})=sum_{d|i}d^2varphi(d)frac{i}{d}^2]
[=i^2sum_{d|i}varphi(d)=i^3]

所以
[S(n)=sum_{i=1}^ni^3-sum_{i=2}^ni^2S(frac{n}{i})]
根据小学奥数的经验:
(1^3+2^3+....n^3=(1+2+....n)^2=sum(n)^2)

所以现在有:
[ans=sum_{T=1}^nsum(frac{n}{T})^2 T^2sum_{d|T}dmu(frac{T}{d})]
前面可以数论分块
后面用杜教筛可以再非线性时间里面求出前缀和
这道题目就搞定啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
int MAX=8000000;
#define MAXN 8000000
#define ll long long
inline ll read()
{
    ll x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
ll MOD,n,inv6,inv2;
int pri[MAXN],tot;
ll phi[MAXN+10];
bool zs[MAXN+10];
map<ll,ll> M;
ll fpow(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    while(b){if(b&1)s=s*a%MOD;a=a*a%MOD;b>>=1;}
    return s;
}
void pre()
{
    zs[1]=true;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAX;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=1ll*phi[i]*phi[pri[j]]%MOD;
            else{phi[i*pri[j]]=1ll*phi[i]*pri[j]%MOD;break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAX;++i)phi[i]=(phi[i-1]+1ll*phi[i]*i%MOD*i%MOD)%MOD;
}
ll Sum(ll x){x%=MOD;return x*(x+1)%MOD*inv2%MOD;}
ll Sump(ll x){x%=MOD;return x*(x+1)%MOD*(x+x+1)%MOD*inv6%MOD;}
ll SF(ll x)
{
    if(x<=MAX)return phi[x];
    if(M[x])return M[x];
    ll ret=Sum(x);ret=ret*ret%MOD;
    for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1)
    {
        j=x/(x/i);
        ll tt=(Sump(j)-Sump(i-1))%MOD;
        ret-=SF(x/i)*tt%MOD;
        ret%=MOD;
    }
    return M[x]=(ret+MOD)%MOD;
}
int main()
{
    MOD=read();n=read();
    MAX=min(1ll*MAX,n);
    inv2=fpow(2,MOD-2);
    inv6=fpow(6,MOD-2);
    pre();
    ll ans=0;
    for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        ll tt=Sum(n/i);tt=tt*tt%MOD;
        ll gg=(SF(j)-SF(i-1))%MOD;
        ans+=gg*tt%MOD;
        ans%=MOD;
    }
    printf("%lldn",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}

设$A$是$n$维线性空间$V$上的线性变换,它的特征值与相应的代数重数分别为$lambda_i,m_i~(1=1,cdots,r)$。为简化阅读,我们设$K_i = ker(lambda_i I - A)^{m_i},~ M_i = operatorname{Im}(lambda_i I - A)^{m_i}$。于是有如下结论:

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